Тангенс и формулы связанные с ним

Коротко о главном Начальный уровень Средний уровень Продвинутый уровень

Привет! Сегодня мы с тобой разберем ряд полезных формул тригонометрии, которые без труда позволят тебе решать большинство задачек на тригонометрию в части B в ЕГЭ. Эти задачки будут в основном связаны с упрощением некоторых изначально “страшных” выражений до милого и приятного вида, для того, чтобы потом ты мог вычислить значение выражения в некоторой заданной точке. Конечно, ты можешь возразить мне, что можно и без всякого упрощения все посчитать. Ну что мне сказать, можно! Я бы с удовольствием посмотрел на тебя, как ты посчитаешь значение, скажем выражения:

 

при  . Не думаю, что у тангенс и формулы связанные с ним тебя выйдет что-то путное за вменяемое время, ты уж меня извини. Тут тебя может спасти только знание формул тригонометрии. Так что к их изучению мы и приступим.

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  1. Синус  
  2. Косинус  
  3. Тангенс  
  4. Котангенс  

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс. Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса. Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» - тангенс и котангенс. Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий. Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул». Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Формулы (основа)

  1. Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  2. Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  3. Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  4. Первое следствие формулы 1:
     
  5. Второе следствие формулы 1:
     
  6. Третье следствие формулы 1:
     
  7. Четвертое следствие формулы 1:
     

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел. Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так? Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на   и применением формулы 2. Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на   и вместо выражения   запишем  , исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7. В чем их «фишка»? Их особенность заключается в знаке  , который стоит перед корнем. Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус. Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться? Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки. К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!». Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. Най­ди­те  , если   и  .
  2. Най­ди­те  , если   и  .
  3. Най­ди­те   если   и  .
  4. Най­ди­те  , если   и  .

Ну что же, давай разбираться:

1. Так как  , то подставим сюда значение , тогда  

 

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи: . Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный. Тогда формулы нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Ответ:  .

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности. Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как  , то все, что нам нужно – это подставить   в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

 . Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус».  , тогда  .

Ответ:  .

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу   значение  :

 . Смотрим на знак косинуса при  . Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ:  .

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан. Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь.  . Так как   (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то  . Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

 

Ответ:  .

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «и что, это все?». Я отвечу, увы нет. Это далеко не все. Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Формулы – 2

  1. Синус суммы и разности:
     
  2. Косинус суммы и разности:
     
  3. Тангенс суммы и разности:
     
  4. Синус двойного угла (следствие формулы 1)
     
  5. Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
     
     
  6. Тангенс двойного угла:
     

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы? Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла. Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

1.  

2.  

3.  

4. Най­ди­те  , если  

5. Най­ди­те  , если  

6. Най­ди­те  , если   и  .

7. Най­ди­те  , если  .

8. Най­ди­те  , если  

9. Най­ди­те  , если  .

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь а) не самые сложные формулы б) не самые «страшные» углы. Страшные углы я припас нам напоследок. А пока что давай решать эти примеры. Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

1.  

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус   градусов, и чему равен синус   градусов. Но что мы должны заметить? Верно!  . Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:

 

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

 .

Ответ:  .

Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять. Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

2.  

Опять-таки, сразу можно заметить, что  .   градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

 

Что же у нас есть в числителе? А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего? Да все того же косинуса двойного угла, только «наоборот», со знаком «минус»!

 

 .

Тогда получим:

 .

Ответ:  .

3.  

Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!». Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще:

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по-правде, я и сам ее не знаю. Но первую знать совершенно необходимо. Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус   градусов. Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так. Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:

  • Например, синус   градусов равен нулю значит, косинус   градусов наоборот единица.
  • Синус   градусов равен единице, значит косинус   градусов равен нулю.
  • Синус   градусов равен  , значит косинус   градусов равен   и т. д.

Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.

Но давай вернемся к нашему примеру: посмотрим в таблицу:

 ,  . Подставим эти значения в нашу формулу:

 .

Ответ:  

Вот видишь, знание таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи. Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

4. По условию  , нам же надо найти  . Что тогда надо сделать? Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

 

Тогда  

 

Ответ:  

5.   - это то, что надо вычислить, а   - это то, что есть. Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно. Нужно лишь заметить, что  . Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем? О чудо: косинусы сократились, а чему равен   мы знаем из условия!

 

Ответ:  .

6.  - то, что нужно найти, а   и   - то, что мы имеем. На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти. А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:

 

Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу). Косинус углов:   равен нулю! Тогда  , а синусы:   равны при этом   и   соответственно. Тогда  . Окончательно получим:

 

Но вот незадача: синус-то нам не дан! Вместо него мы знаем, что   и  . Как по этим данным найти неизвестный синус – ты уже знаешь! Мы в самом начале решали такие задачки. Так что результат будет таков:

 .

Снова нужно определиться со знаком: . Это значит, что четверть четвертая, а синус в четвертой четверти имеет знак «минус». Тогда  , что значит, что  .

Ответ:  .

7. Нужно найти:  , а дано:  . Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По-порядку:

 ,
 

Тогда решить задачу можно вот как: найти по-отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:

Вначале найдем синус в квадрате.

Так как  , то

 

 

 

 

 

Тогда из  , получим, что  

Наконец, найдем тангенс:

 

Ответ:  

8. Надо найти  , зная, что  . На какую мысль тебя это должно было натолкнуть? А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

 

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать? Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на  . Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

 .

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо   его числовое значение  . Тогда получим:

 

Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ:  .

Ответ:  .

9. Нужно найти , если дано  .

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов. Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

 

Опять-таки, тебе должно быть известно, что  .

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

 

Теперь с синусом:

 .

Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу):  , тогда

 

Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

 

Ответ:  .

Формулы приведения

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой. Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем   градусов. Например, найти синус угла   градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

     
     

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

     
     
     

Теперь непосредственно сам алгоритм:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

     

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса – "половинки"   (  градусов). Например:

       

  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол   в одной из следующих форм

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     
    ...

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Начнем по порядку:

  1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для  :

     

    В общем, делаем вывод, что в угол   помещается целиком 5 раз по  , а сколько осталось? Осталось  . Тогда

     

    Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.   лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем   согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:  

     

    Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с   градусами, тогда отбрасываем   и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

     

      градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

     

    Тогда получим окончательный ответ:

     

    Ответ:  

  2.   все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

     

    Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

     

    Отбрасываем   - это два целых круга. Осталось вычислить  . Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе.   можно представить как  . Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа   (  или  ), тогда функция не меняется:

     

    Тогда  .
    Ответ:  .

  3.  . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток:   и   градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».   можно представить как:  , а   как  , тогда

     

    Оба случая – «половинки от целого  ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

     

    Ответ:  .

Тренировка

Ну вот, теперь на мой взгляд, ты готов к решению всех оставшихся «за бортом» задач. Страшные углы теперь тебе более не помеха. Попробуй прорешать примеры самостоятельно, а потом мы с тобой сравним результаты.

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .

10. Най­ди­те  , если   и  .

Начнем проверять вместе:

  1.   Ключ к успеху – заметить, что  !!! Тогда, например  :

     

     – угол первой четверти. Косинус первой четверти – положительный. Поскольку мы вычитаем из   градусов, то косинус меняется на синус:

     

    Ответ:  .

  2.  
    Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы

     

    Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга  . Остается вычислить:  
    Также поступаем и со вторым углом:

     

    Удаляем целое число кругов –3 круга ( ) тогда:

     

    Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до   всего  . Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим  . Так как вычитаем мы из целого количества  , то знак косинуса не меняем:

     

    Подставляем все полученные данные в формулу:

     

    Ответ:  .

  3.  
    Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что  . Осталось сосчитать косинус   градусов. Уберем целые круги:  . Тогда

     

    Тогда  
    Ответ:  .

  4.  
    Действуем, как в предыдущем примере.

     

    Поскольку ты помнишь, что период у тангенса –   градусов (или  ) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество  .

     

      градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»!   можно записать как  . Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

     

    Тогда  .
    Ответ:  .

  5.  
    Снизу у нас все хорошо – маленький уголок первой четверти. Наверху же – все плохо: угол большой, надо его упростить по формулам приведения.   (я уже воздержусь тут от комментариев, тебе и так все ясно).

     .

    Ответ:  .

  6.  
    Вся проблема, как ты понимаешь, в косинусе. Но не беда, решим. Смотри, на знак нам все равно, поскольку косинус-то у нас в квадрате и знак всегда будет «плюс».То есть на четверти можно не смотреть. В то же время:

     
     

    Какой формулой я воспользовался в знаменателе? Помнишь, ты обещал ее выучить и быть готовым ответить, проснувшись среди ночи?!).
    Ответ:  .

  7. Пример немного похитрее.   Прежде всего заметим, что  . Тогда давай представим числитель как синус двойного угла!

     

    Тебе это ничего не напоминает? Задача в точности такая же, как в номере 1. Я тогда так и поступлю, заметив, что у меня опять:  !

     .

    Ответ:  .

  8.  
    Опять задание комбинированное! Легко увидеть и вынести за скобки общий множитель  :

     

    Как называется формула внутри скобок? Пробегись глазами по списку наших формул! Нашел? Это косинус двойного угла!

     

    И снова формулы приведения: косинус второй четверти отрицательный, так как вычитаем мы из целого числа  , то косинус не меняется:

     

    Окончательно получим:

     

    Ответ:  .

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .
    У тангенса период –  , так что не задумываясь отбрасываем его:

     

    Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.
     
     
    Ответ:  .

  10. Най­ди­те  , если   и  
    Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

     

    Теперь: наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия на угол в условии задачи!!!). Синус имеет знак минус, так как складываем мы с «половинкой от пи», то синус меняется на косинус.

     

    Теперь все как в самом начале урока. По известному синусу надо найти косинус.

     

    Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

     .

    Ответ:  .

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь! Я думаю, что если ты еще самостоятельно порешаешь примеры из группы B11 в ЕГЭ, то скоро у тебя возникнет абсолютно ясное понимание, где и как применять ту или иную формулу тригонометрии. Здесь все зависит только от тебя и от твоего упорства.

В следующей статье по теме «формулы тригонометрии» я буду вводить более сложные и изощренные формулы, опираясь при этом на изложенные здесь результаты, не проводя уже таких детальных выкладок, как делал в этом обзоре.


Источник: http://youclever.org/book/formuly-trigonometrii-1



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Видеоурок: Тангенс разности аргументов по предмету алгебра за Пошаговое построение основы платья на 46 размер

Тангенс и формулы связанные с ним Тангенс и формулы связанные с ним Тангенс и формулы связанные с ним Тангенс и формулы связанные с ним Тангенс и формулы связанные с ним Тангенс и формулы связанные с ним

Похожие новости